Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P、Q兩點，0為坐標原點，問是否存在實數m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：設出P，Q的坐標，根據OP⊥OQ可推斷出

OP

•

OQ

=-1，把P，Q坐標代入求得關系式，把直線方程與圓的方程聯立消去y，利用韋達定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直線方程求得y_p•y_Q的表達式，最后聯立方程求得m，利用判別式驗證成立，答案可得．

解答：解：設點P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
當OP⊥OQ時，K_op•K_OQ=-1?

OP

•

OQ

=-1?x_px_Q+y_py_Q=0（1）
又直線與圓相交于P、Q?

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

的根是P、Q坐標
?是方程5x²+10x+（4m-27）=0的兩根
有：x_p+x_Q=-2，x_p•x_Q=

4m-27

5

（2）
又P、Q在直線x+2y-3=0上y_p•y_Q=

1

2

（3-x_p）•（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p•x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且檢驗△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．本題的最后對求得的結果進行驗證是不可或缺的步驟，保證了結果的正確性．