Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求m的值．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線與圓方程消去y得：

5

4

x²+

5

2

x+m-

27

4

=0，從而將x₁+x₂和x₁x₂表示成關(guān)于m的式子，根據(jù)以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，得

OP

•

OQ

=0，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解關(guān)于m的方程即可得到實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-3=0聯(lián)解，消去y得：

5

4

x²+

5

2

x+m-

27

4

=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m

5

-

27

5

∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

4

（3-x₁）（3-x₂）=

5

4

x₁x₂-

3

4

（x₁+x₂）+

9

4

=0，
結(jié)合前面根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，代入得：

5

4

（

4m

5

-

27

5

）+

3

2

+

9

4

=0，解之得m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與圓相交于點(diǎn)P、Q，并且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求參數(shù)的值．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．