Question

8．某車間生產一種儀器的固定成本是7500元，每生產一臺該儀器需要增加投入100元，已知總收入滿足函數(shù)：H（x）=$\left\{\begin{array}{l}{400x-{x}^{2}，（0≤x≤200）}\\{40000，（x＞200）}\end{array}\right.$，其中x是儀器的月產量．（利潤=總收入-總成本）．
（Ⅰ）將利潤表示為月產量x的函數(shù)；
（Ⅱ）當月產量為何值時，車間所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設月產量為x臺時的利潤為f（x）．則總成本t=7500+100x，由f（x）=H（x）-t，可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的解析式，分類討論得到函數(shù)的性質，進而可得最值．

解答 解：（Ⅰ）設月產量為x臺時的利潤為f（x）．
則總成本t=7500+100x，
又∵f（x）=H（x）-t，
∴利潤f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+300x-7500，（0≤x≤200）\\-100x+32500，（x＞200）\end{array}\right.$       …（4分）
（Ⅱ）當0≤x≤200時，f（x）=-（x-150）²+15000，
∴f（x）_max=f（150）=15000；                   …（5分）
當x＞200時，f（x）=-100x+32500在（200，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）＜f（200）=12500．…（6分）
而12500＜15000，所以當x=150時，f（x）取最大，最大為15000元．
答：當月產量為150臺時，該車間所獲利潤最大，最大利潤是15000元．  …（8分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，分類討論思想，難度不大，屬于基礎題．