Question

5．已知x²+y²=a，m²+n²=b（a＞0，b＞0），求證：mx+ny≤$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 運用三角換元，令x=$\sqrt{a}$cosα，y=$\sqrt{a}$sinα，設m=$\sqrt$cosβ，n=$\sqrt$sinβ，再由兩角差的余弦公式和余弦函數的值域，結合基本不等式即可得證．

解答 證明：由x²+y²=a，（a＞0），
設x=$\sqrt{a}$cosα，y=$\sqrt{a}$sinα，
由m²+n²=b（b＞0），
設m=$\sqrt$cosβ，n=$\sqrt$sinβ，
可得mx+ny=$\sqrt{ab}$（cosαcosβ+sinαsinβ）
=$\sqrt{ab}$cos（α-β）≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用三角換元法，結合兩角差的余弦公式和余弦函數的值域，以及基本不等式，考查推理能力，屬于中檔題．