Question

20．如圖，直線l過拋物線y²=4x的交點(diǎn)F且分別交拋物線及其準(zhǔn)線于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則|AB|等于（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． $4\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，根據(jù)$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，和拋物線的定義，可得tan∠NCB=2，從而可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的定義，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M、N，則|BN|=|BF|，
∵$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴sin∠NCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠NCB=2
∴AF的方程為y=2（x-1），
代入y²=4x，可得x²-3x+1=0
∴x₁+x₂=3，
∴|AB|=x₁+x₂+2=5．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．