【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為 -1.以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且滿足 + =t (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).當(dāng)|AB|= 時(shí),求實(shí)數(shù)t的值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意知a﹣c= ﹣1;又因?yàn)閎= =1,所以a2=2,b2=1.
故橢圓C的方程為 +y2=1.
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣2),A(x1 , y1),B(x2 , y2),P(x,y),
得(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0.
△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)>0,∴k2
x1+x2= ,x1x2=
又由|AB|= ,得 |x1﹣x2|= ,即 =
可得
又由 + =t ,得(x1+x2 , y1+y2)=t(x,y),則 = , =
,即16k2=t2(1+2k2).
得,t2= ,即t=±
【解析】(Ⅰ)利用橢圓C: =1(a>b>0)上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為 -1,可求a﹣c的值,利用直線與圓相切,可得b的值,由此可求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及|AB|= , + =t ,即可求得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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