Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答 解：由已知f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+2cos²（$\frac{π}{4}$-x）-1=$\sqrt{3}$cos2x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x$+\frac{π}{3}$），
所以（1）f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}=π$，
又y=sinx的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ$]，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間（2x$+\frac{π}{3}$）∈[$\frac{π}{2}+2kπ，\frac{3π}{2}+2kπ$]，
解得單調(diào)遞減區(qū)間[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ$+\frac{7}{12}π$]；
（2）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
則（2x$+\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]，
所以f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的取值范圍是[-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用三角函數(shù)倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，進(jìn)一步求周期及單調(diào)性．