Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的方程為ρ²（1+sin²θ）=1．
（1）求曲線M的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即可得出其直角坐標(biāo)方程；
（2）求出直線l的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)△=0，得到關(guān)于tanα的方程，解出即可．

解答 解：（1）曲線M的方程為ρ²（1+sin²θ）=1，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，
∴x²+2y²=1；
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴y=tanα（x-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{2y}^{2}=1}\\{y=tanα（x-\frac{\sqrt{10}}{2}）}\end{array}\right.$，得：x²+2${[tanα（x-\frac{\sqrt{10}}{2}）]}^{2}=1$，
即（1+2tan²α）x²-2$\sqrt{10}$tan²αx+5tan²α-1=0，
若直線l與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則△=${[-2{\sqrt{10}tan}^{2}α]}^{2}$-4（1+2tan²α）（5tan²α-1）=0，
解得：tanα=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識解決交點(diǎn)問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．