Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的定義域，對參數(shù)a進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點，只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1＜0，即lna+$\frac{1}{a}$-1＞0即可，構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定義域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a，
（1）當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0成立，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）； 
（2）當(dāng)a＞0時，
令f'（x）＞0，得x＞lna，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞），
令f'（x）＜0，得x＜lna，則f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna）；
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，lna）．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點，
由（Ⅰ）得，a＞0，此時只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1＜0，
即lna+$\frac{1}{a}$-1＞0即可，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0），
h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
∴x∈{x|x＞0且x≠1}時，h（x）＞0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．