Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤0}\\{{e}^{x}-1，x＞0}\end{array}\right.$，若f（x）≥ax，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． [-2，0]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 討論當x≤0時，x²-2x≥ax，即有a≥x-2，求得x-2的最大值，可得a的范圍；再由x＞0，可得e^x-1-ax≥0，由g（x）=e^x-1-ax的導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得a的范圍，進而得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤0}\\{{e}^{x}-1，x＞0}\end{array}\right.$，
當x≤0時，x²-2x≥ax，即有a≥x-2，
由x-2≤-2，可得a≥-2；
當x＞0時，e^x-1-ax≥0，
由g（x）=e^x-1-ax的導數(shù)為g′（x）=e^x-a，
由x＞0可得e^x＞1，當a≤1可得g′（x）＞0，g（x）遞增，
可得g（x）＞g（0）=0，恒成立；
當a＞1時，g（x）不單調(diào)，g（x）≥0不恒成立．
綜上可得，a的范圍是[-2，1]．
故選：D．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．