Question

1．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=x，函數(shù)g（x）=-x²+ax-b，且不等式g（x）≤0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞）．
（1）若φ（x）=g（x）-|f（x）|，求φ（x）的最大值；
（2）求不等式g（x）≥|f（x）|的解集．

Answer 1

分析 （1）求出φ（x）的表達式，通過討論x的范圍，求出φ（x）的單調區(qū)間，求出其最大值即可；（2）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x+1）=x，∴f（x）=x-1，
∵函數(shù)g（x）=-x²+ax-b，且不等式g（x）≤0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞），
∴-x²+ax-b≤0即x²-ax+b≥0的解集是（-∞，1]∪[5，+∞），
∴a=6，b=5，
∴g（x）=-x²+6x-5，
∴φ（x）=g（x）-|f（x）|=-x²+6x-5-|x-1|，
x≥1時，φ（x）=-x²+5x-4，對稱軸x=$\frac{5}{2}$，
∴φ（x）在[1，$\frac{5}{2}$）遞增，在（$\frac{5}{2}$，+∞）遞減，
∴φ_max（x）=φ（$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
x＜1時，φ（x）=-x²+7x-6，對稱軸x=$\frac{7}{2}$，
∴φ（x）在（-∞，1）遞增，
∴φ_max（x）=φ（1）=0，
綜上，φ_max（x）=φ（$\frac{5}{2}$）=$\frac{9}{4}$；
（2）x≥1時，-x²+6x-5≥x-1，解得：1≤x≤4，
x＜1時，-x²+6x-5≥-x+1，解得：1≤x≤6，舍，
綜上，不等式g（x）≥|f（x）|的解集是[1，4]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，考查絕對值不等式問題，是一道中檔題．