Question

8．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥平面ACD，AC=AD=2，AB=4，CD=2$\sqrt{2}$，則三棱錐A-BCD外接球的表面積與內(nèi)切球表面積的比為24：1．

Answer 1

分析 證明AC⊥AD，AB⊥AC，AB⊥AD，將三棱錐A-BCD擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為2，2，4，其對(duì)角線為三棱錐A-BCD外接球的直徑，可得三棱錐A-BCD外接球的半徑，利用等體積求出三棱錐A-BCD內(nèi)切球半徑，即可求出三棱錐A-BCD外接球的表面積與內(nèi)切球表面積的比．

解答 解：∵AC=AD=2，CD=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+AD²=CD²，
∴AC⊥AD，
∵AB⊥平面ACD，
∴AB⊥AC，AB⊥AD，
將三棱錐A-BCD擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)寬高分別為2，2，4，其對(duì)角線為$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴三棱錐A-BCD外接球的直徑為2$\sqrt{6}$，半徑為$\sqrt{6}$，
設(shè)三棱錐A-BCD外接球的內(nèi)切球半徑為r，則
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{1}{3}×（2×\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{20-2}）$r，
∴r=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐A-BCD外接球的表面積與內(nèi)切球表面積的比為$（\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}）^{2}$=24：1．
故答案為：24：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐A-BCD外接球的表面積與內(nèi)切球表面積的比，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求三棱錐A-BCD外接球與內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵．