Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an= （n∈N* ， n≥2），數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn= （n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an= （n∈N*，n≥2），

∴ = =2+ ，即bn=2+bn﹣1（n≥2），

又∵a1=1，

∴b1=1，

∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；

（2）解：由（1）可知bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= ．

【解析】（1）通過對an= （n∈N* ， n≥2）兩邊同時(shí)取倒數(shù)、整理得 =2+ ，進(jìn)而可知數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列；（2）通過（1）可知bn=2n﹣1，進(jìn)而求倒數(shù)可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．