Question

設(shè)函數(shù)，其中

(1)求在的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，求最小值及取得時(shí)的的值.

 

Answer 1

(1) 為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)≥3時(shí)，當(dāng)=3時(shí)，取最小值，當(dāng)＜3時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值

【解析】

試題分析：(1)先求出的導(dǎo)函數(shù)，由＞0解出的區(qū)間即為增區(qū)間，由＜0解出的區(qū)間即為減區(qū)間； (2)將分成大于等于3與小于3兩類，當(dāng)大于等于3時(shí)，由（1）知在[1,3]是單調(diào)遞減函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出在[1,3]上的最小值及對(duì)應(yīng)的值；當(dāng)小于3時(shí)，由（1）知在[1, ]是減函數(shù)，在[,3]是增函數(shù)，故當(dāng)=時(shí)，取最小值，即可求得最小值.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720075214055704/SYS201411172008012970706786_DA/SYS201411172008012970706786_DA.013.png">， 1分

令，得

令，得或 2分

令，得 3分

故為單調(diào)遞增區(qū)間，為單調(diào)遞減區(qū)間. 5分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720075214055704/SYS201411172008012970706786_DA/SYS201411172008012970706786_DA.022.png">，所以

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由（１）知，在[１，3]上單調(diào)遞減， 7分

所以在時(shí)取得最小值， 8分

最小值為： 9分

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，

由（Ⅰ）知，在[0，]上單調(diào)遞減，在[，３]上單調(diào)遞增， 11分

所以在處取得最小值，最小值為： 12分

又， 13分

所以當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；

當(dāng)時(shí)，在處取得最小值. 14分

考點(diǎn):常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的最值；分類整合思想