Question

14．已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+9=0關(guān)于直線4x+y=0對稱，且半徑為2$\sqrt{2}$，圓心在第四象限．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）點M在圓C內(nèi)部，且滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x-y-5≥0}\\{x+y+3≥0}\end{array}\right.$，求2x-y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圓心（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直線4x+y=0上，結(jié)合圓半徑為2$\sqrt{2}$，圓心在第四象限，可得答案；
（2）畫出滿足條件的可行域，數(shù)形結(jié)合求出2x-y的最值，可得2x-y的取值范圍．

解答 解：（I）∵圓C：x²+y²+Dx+Ey+9=0關(guān)于直線4x+y=0對稱，
∴圓心（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$）在直線4x+y=0上，
又∵半徑為2$\sqrt{2}$，圓心在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2D-\frac{E}{2}=0\\ \frac{\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-36}}{2}=2\sqrt{2}\\-\frac{D}{2}＞0\\-\frac{E}{2}＜0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=8\end{array}\right.$，
∴圓C的方程為：x²+y²-2x+8y+9=0；
（Ⅱ）點M在圓C內(nèi)部，且滿足：$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x-y-5≥0\\ x+y+3≥0\end{array}\right.$，
故M對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：

由圖可得：當(dāng)直線y=2x-z過A（2，-3）時，Z=2x-y取最大值7，
當(dāng)當(dāng)直線y=2x-z與圓切于B點時，Z=2x-y取最小值，
由此時圓心（1，-4）到直線y=2x-z的距離d=$\frac{|6-z|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{2}$得：
z=6-$2\sqrt{10}$，或z=6+$2\sqrt{10}$（舍去），
故2x-y∈[6-$2\sqrt{10}$，7]

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，線性規(guī)劃，是解析幾何與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．