Question

已知點(diǎn)M（3，1），直線ax-y+4=0及圓（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求過M點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，可得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)方程為x=3，符合題意．而直線的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)斜式列式并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，得到切線方程為3x-4y-5=0，即可得到答案．
（2）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a的方程，解之即可得到a的值．

解答： 解：（1）∵圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圓心C（1，2），半徑r=2，
①當(dāng)過M點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=3，
由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，此時(shí)直線與圓相切．
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0．
根據(jù)題意，可得

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，解得k=

3

4

，此時(shí)切線方程為y-1=

3

4

（x-3），即3x-4y-5=0
綜上所述，過M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0．
（2）由題意，直線ax-y+4=0到圓心的距離等于半徑，
可得

|a-2+4|

a2+1

=2，解之得a=0或

4

3

．

點(diǎn)評：本題給出直線與圓相切，求切線的方程與參數(shù)a的值．著重考查了圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．