Question

11．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對于?a，b，c∈D，．f（a），f （b），f（c）分別為某個(gè)三角形的三邊長，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=lnx（x＞1）
②f（x）=4+sinx
③f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）
④f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$
其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，若f（x）為“三角形函數(shù)，則滿足f（a）+f（b）＞f（c）或者f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，即可．

解答 ②任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，
不妨假設(shè)a≤c，b≤c，
設(shè)a=1.1，b=1.1，c=2時(shí)，滿足a+b＞c，
由于lna+lab=ln（ab）=ln1.21＞ln2不成立，
所以h（x）=lnx，x∈[1，+∞）不是為三角形函數(shù)”；
②f（x）=4+sinx的最大值f（x）_max=4+1=5，最小值f（x）_min=4-1=3，則f（x）_max-f（x）_min=5-3=2＜f（x）_min，即函數(shù)f（x）=4+sinx為“三角形函數(shù)”．
③f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）為增函數(shù)，則最大值f（x）_max=${8}^{\frac{1}{3}}=\root{3}{8}$=2，最小值f（x）_min=1，則f（x）_max-f（x）_min=2-1＜1不成立，即函數(shù)f（x）=${x^{\frac{1}{3}}}$（1≤x≤8）
不是“三角形函數(shù)”．
④f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1+1}{{2}^{x}+1}$=1+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，則f（x）∈（1，2），最大值f（x）_max＜2，f（x）_min＞1，則f（x）_max-f（x）_min＜1，則f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min成立，
故f（x）=$\frac{{{2^x}+2}}{{{2^x}+1}}$是“三角形函數(shù)”，
故是“三角形函數(shù)”的是②④，
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及新定義“三角形函數(shù)”，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求f（x）_max-f（x）_min＜f（x）_min，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．