Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13．
（1）先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），骰子向上的數(shù)字一次記為a，b，求方程f（x）=0有兩個(gè)不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）基本事件總數(shù)n=6×6=36，設(shè)事件A表示“f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13=0有兩個(gè)不等正根“，利用列舉法求出滿足事件A的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出方程f（x）=0有兩個(gè)不等正根的概率．
（2）設(shè)事件B表示“函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)”，a∈[2，6]，f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13的對(duì)稱軸為x=a-2∈[0，4]，f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)時(shí)，只要對(duì)稱軸不在[2，3]上即可，根據(jù)幾何概型定義得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)的概率．

解答 解：（1）如果先后拋擲的一枚均勻的骰子所得的向上的點(diǎn)數(shù)記為（a，b），
則基本事件總數(shù)n=6×6=36，
設(shè)事件A表示“f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13=0有兩個(gè)不等正根“，
則事件A滿足：$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{13-^{2}＞0}\\{（a-2）^{2}+^{2}-13＞0}\end{array}\right.$，
滿足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4個(gè)，
∴方程f（x）=0有兩個(gè)不等正根的概率p（A）=$\frac{m}{n}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$．
（2）設(shè)事件B表示“函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)”，
∵a∈[2，6]，f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13的對(duì)稱軸為x=a-2∈[0，4]，
區(qū)間長(zhǎng)為4，
f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)時(shí)，只要對(duì)稱軸不在[2，3]上即可，
∴對(duì)稱軸不在[2，3]的區(qū)間長(zhǎng)為3，
根據(jù)幾何概型定義得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是單調(diào)函數(shù)的概率P（B）=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣、統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運(yùn)用．