Question

11．如圖，等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，現(xiàn)將三角形ACD沿AC向上折起，滿足平面ABC⊥平面ACD，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為5π．

Answer 1

分析 由已知可得三棱錐D-ABC的外接球，即三棱錐B-ACD的外接球，相當于以△ACD為底面，以AB為高的棱柱的外接球；利用勾股定理求出外接球的半徑，進而可得表面積．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，∠D=180°-∠B，
∵AB=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=1，故BC=2，
則AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠B=AD²+CD²-2AD•CD•cos（180°-∠B），
即5-4cos∠B=2+2cos∠B，
解得：cos∠B=$\frac{1}{2}$，故B=60°，
則AC=$\sqrt{3}$，AB⊥AC，
則將三角形ACD沿AC向上折起后，
三棱錐D-ABC的外接球，即三棱錐B-ACD的外接球，相當于以△ACD為底面，以AB為高的棱柱的外接球；
由△ACD的外接圓半徑r=1，球心到平面△ACD的距離d=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
故外接球的半徑R滿足：R²=r²+d²=$\frac{5}{4}$，
故外接球的表面積S=4πR²=5π，
故答案為：5π．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的體積與表面積，其中示出外接球的半徑，是解答的關(guān)鍵．