Question

2．某地區(qū)有100戶農(nóng)民，都從事水產(chǎn)養(yǎng)殖．據(jù)了解，平均每戶的年收入為3萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當?shù)卣�府決定動員部分農(nóng)民從事水產(chǎn)加工．據(jù)估計，如果能動員x（x＞0）戶農(nóng)民從事水產(chǎn)加工，那么剩下的繼續(xù)從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事水產(chǎn)加工的農(nóng)民平均每戶的年收入將為$3（a-\frac{3x}{50}）（a＞0）$萬元．
（1）在動員x戶農(nóng)民從事水產(chǎn)加工后，要使從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民的總年收入，求x的取值范圍；
（2）若0＜x≤25，要使這100戶農(nóng)民中從事水產(chǎn)加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事水產(chǎn)養(yǎng)殖的農(nóng)民的總年收入，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題中條件：“從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個不等關(guān)系，列不等式得x的取值范圍；
（2）問題先轉(zhuǎn)化成一個不等關(guān)系，然后分離參數(shù)a，利用基本不等式及單調(diào)性求出最值得答案．

解答 解：（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
∵x＞0，∴0＜x≤50；
（2）從事水產(chǎn)加工的農(nóng)民的年總收入為3（a-$\frac{3x}{50}$）x萬元，
從事水產(chǎn)種植農(nóng)民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據(jù)題意得，3（a-$\frac{3x}{50}$）x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
即ax≤100+x+$\frac{{x}^{2}}{25}$恒成立．
又x＞0，∴a≤$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1恒成立，
而$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1≥2$\sqrt{\frac{100}{x}•\frac{x}{25}}$+1=5（當且僅當x=50時取得等號），
由（0，25]為$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1的遞減區(qū)間，即有x=25時，取得最小值，且為4+1+1=6，
∴a的最大值為6．

點評 本題主要考查函數(shù)在實際生活中的應用、考查了利用基本不等式求最值，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．