Question

6．$f（x）=\frac{{{3^{2x}}+1}}{{{3^{2x}}-1}}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由分母不為零求出函數(shù)的定義域，由函數(shù)奇偶性的定義域進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、證明f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
由3^2x-1≠0得x≠0，則函數(shù)的定義域是{x|x≠}，
因?yàn)?f（-x）=\frac{{3}^{-（2x）}+1}{{3}^{-（2x）}-1}$=$\frac{{1+3}^{2x}}{{1-3}^{2x}}$=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{3}^{2{x}_{1}}+1}{{3}^{2{x}_{1}}-1}$-$\frac{{3}^{2{x}_{2}}+1}{{3}^{2{x}_{2}}-1}$
=$\frac{{（3}^{2{x}_{1}}+1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）-（{3}^{2{x}_{2}}+1）（{3}^{2{x}_{1}}-1）}{{（3}^{2{x}_{1}}-1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）}$
=$\frac{2（{3}^{2{x}_{2}}-{3}^{2{x}_{1}}）}{{（3}^{2{x}_{1}}-1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴${3}^{2{x}_{1}}-1＜0$，${3}^{2{x}_{2}}-1＜0$，${3}^{2{x}_{2}}-{3}^{2{x}_{1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷與證明，一般利用定義證明，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．