Question

6．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C丄側(cè)面ABB₁A₁，AC=AA₁=$\sqrt{2}$AB，∠AA₁C₁=60°，AB⊥AA₁，H為棱CC₁的中點(diǎn)，D在棱BB₁上，且A₁D丄平面AB₁H．
（Ⅰ）求證：D為BB₁的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求二面角C₁-A₁D-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，利用線面垂直的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可證明D為BB₁的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C₁-A₁D-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC₁，
∵AC=AA₁，∠AA₁C₁=60°，
∴三角形ACC₁是正三角形，
∵H是CC₁的中點(diǎn)，
∴AH⊥CC₁，從而AH⊥AA₁，
∵側(cè)面AA₁C₁C丄側(cè)面ABB₁A₁，面AA₁C₁C∩側(cè)面ABB₁A₁=AA₁，AH?平面AA₁C₁C，
∴AH⊥ABB₁A₁，
以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
設(shè)AB=$\sqrt{2}$，則AA₁=2，
則A₁（0，2，0），B₁（$\sqrt{2}$，2，0），D（$\sqrt{2}$，t，0），
則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{2}$，t-2，0），
∵A₁D丄平面AB₁H．AB₁?丄平面AB₁H．
∴A₁D丄AB₁，
則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{2}$，2，0）•（$\sqrt{2}$，t-2，0）=2+2（t-2）=2t-2=0，得t=1，
即D（$\sqrt{2}$，1，0），
∴D為BB₁的中點(diǎn)；
（2）C₁（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\sqrt{2}$，-1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面C₁A₁D的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\sqrt{2}$x-y=0），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=-y+$\sqrt{3}$z=0，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x}\\{z=\frac{\sqrt{6}}{3}x}\end{array}\right.$，
令x=3，則y=3$\sqrt{2}$，z=$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{m}$=（3，3$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
顯然平面A₁DA的法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AH}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{33}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{22}}{11}$，
即二面角C₁-A₁D-A的余弦值是$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．