Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為棱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）設(shè)點(diǎn)M是線段PC上的一點(diǎn)，PM=t PC，且PA∥平面MQB．
（�。┣髮�(shí)數(shù)t的值；
（ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）PA=PD，連BD，四邊形ABCD菱形，Q為 AD中點(diǎn)，證明平面PAD內(nèi)的直線AD，垂直平面PQB內(nèi)的兩條相交直線BQ，PQ，即可證明平面PQB⊥平面PAD；
（2）（ⅰ）連AC交BQ于N，交BD于O，點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，實(shí)數(shù)t=$\frac{1}{3}$的值，根據(jù)PA∥平面MQB，利用PA∥MN，說明三角形相似，求出t=$\frac{1}{3}$．
（ⅱ）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答 解：（1）連BD，四邊形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q為 AD中點(diǎn)
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q為 AD中點(diǎn)AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）（�。┊�(dāng)t=$\frac{1}{3}$時(shí)，使得PA∥平面MQB，
連AC交BQ于N，交BD于O，
則O為BD的中點(diǎn)，又∵BQ為△ABD邊AD上中線，
∴N為正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則AN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AC=$\sqrt{3}$a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，
$\frac{PM}{PC}=\frac{AN}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{3}}{\sqrt{3}a}\;=\frac{1}{3}$即：PM=$\frac{1}{3}$PC，t=$\frac{1}{3}$．
（1）∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，則B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），設(shè)M（a，b，c），
則$\overrightarrow{PM}$=（a，b，c-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∵PM=$\frac{1}{3}PC$，∴$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$，
∴a=-$\frac{2}{3}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)平面MQB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{QM}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{QB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
又平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
由圖知二面角M-BQ-C的平面角為銳角，
∴二面角M-BQ-C的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．