Question

17．若點(diǎn)P（x，y）在曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，θ∈R），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）若射線θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為（x-2）²+y²=3，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}\right.$代入即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）射線θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）．代入圓C的直角坐標(biāo)方程為：${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1$=0，利用|OA|+|OB|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
化為（x-2）²+y²=3，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosα}\\{y=ρsinα}\end{array}\right.$代入化為極坐標(biāo)方程：ρ²-4ρcosα+1=0．
（2）射線θ=$\frac{π}{4}$（ρ≥0）的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0），參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0）．
代入圓C的直角坐標(biāo)方程為：${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1$=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$．
∴|OA|+|OB|=|t₁+t₂|=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角方程的互化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．