Question

9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F（c，0）關于直線y=$\frac{c}$x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設出Q的坐標，利用對稱知識，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關系，然后求解離心率即可．

解答 解：設Q（m，n），由題意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{m-c}=-\frac{c}…①\\ \frac{n}{2}=\frac{c}•\frac{m+c}{2}…②\\ \frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1…③\end{array}\right.$，
由①②可得：m=$\frac{{c}^{3}-{cb}^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2{bc}^{2}}{{a}^{2}}$，代入③可得：$\frac{{（\frac{{c}^{3}-{cb}^{2}}{{a}^{2}}）}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{（\frac{2{bc}^{2}}{{a}^{2}}）}^{2}}{^{2}}=1$，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程簡單性質的應用，考查對稱知識以及計算能力．