Question

13．如圖，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過(guò)t小時(shí)，他們之間的距離為f（t）（單位：千米）．甲的路線是AB，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時(shí)．乙到達(dá)B地后原地等待．設(shè)t=t₁時(shí)乙到達(dá)C地．
（1）求t₁與f（t₁）的值；
（2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米．當(dāng)t₁≤t≤1時(shí)，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t）在[t₁，1]上的最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得t₁=$\frac{AC}{{v}_{乙}}$=$\frac{3}{8}$h，由余弦定理可得f（t₁）=PC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{P}^{2}-2AC•AP•cosA}$，代值計(jì)算可得；
（2）當(dāng)t₁≤t≤$\frac{7}{8}$時(shí)，由已知數(shù)據(jù)和余弦定理可得f（t）=PQ=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，當(dāng)$\frac{7}{8}$＜t≤1時(shí)，f（t）=PB=5-5t，綜合可得當(dāng)$\frac{3}{8}$＜t≤1時(shí)，f（t）∈[0，$\frac{3\sqrt{41}}{8}$]，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得t₁=$\frac{AC}{{v}_{乙}}$=$\frac{3}{8}$h，
設(shè)此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，則AP=v_甲t₁=5×$\frac{3}{8}$=$\frac{15}{8}$千米，
∴f（t₁）=PC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{P}^{2}-2AC•AP•cosA}$
=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{15}{8}）^{2}-2×3×\frac{15}{8}×\frac{3}{5}}$=$\frac{3\sqrt{41}}{8}$千米；
（2）當(dāng)t₁≤t≤$\frac{7}{8}$時(shí)，乙在CB上的Q點(diǎn)，設(shè)甲在P點(diǎn)，
∴QB=AC+CB-8t=7-8t，PB=AB-AP=5-5t，
∴f（t）=PQ=$\sqrt{Q{B}^{2}+P{B}^{2}-2QB•PB•cosB}$
=$\sqrt{（7-8t）^{2}+（5-5t）^{2}-2（7-8t）（5-5t）0.8}$
=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，
當(dāng)$\frac{7}{8}$＜t≤1時(shí)，乙在B點(diǎn)不動(dòng)，設(shè)此時(shí)甲在點(diǎn)P，
∴f（t）=PB=AB-AP=5-5t
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}，\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}}\\{5-5t，\frac{7}{8}＜t≤1}\end{array}\right.$
∴當(dāng)$\frac{3}{8}$＜t≤1時(shí)，f（t）∈[0，$\frac{3\sqrt{41}}{8}$]，
故f（t）的最大值沒(méi)有超過(guò)3千米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及余弦定理和分段函數(shù)，屬中檔題．