Question

4．設(shè)數(shù)列{a_n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，$\stackrel{k個}{\overbrace{（-1）^{k-1}k，…，（-1）^{k-1}k}}$，…，即當(dāng)$\frac{（k-1）k}{2}$＜n≤$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*）時，${a}_{n}={（-1）}^{k-1}k$．記S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^?）．對于l∈N^?，定義集合P_l=﹛n|S_n為a_n的整數(shù)倍，n∈N^?，且1≤n≤l}
（1）求P₁₁中元素個數(shù)；
（2）求集合P₂₀₀₀中元素個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的定義，可得前11項，進(jìn)而得到前11項和，再由定義集合P_l，即可得到元素個數(shù)；
（2）運用數(shù)學(xué)歸納法證明S_i（2i+1）=-i（2i+1）（i∈N*）．再結(jié)合定義，運用等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求．

解答 解：（1）由數(shù)列{a_n}的定義得a₁=1，a₂=-2，a₃=-2，a₄=3，
a₅=3，a₆=3，a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，a₁₁=5，
所以S₁=1，S₂=-1，S₃=-3，S₄=0，S₅=3，S₆=6，S₇=2，
S₈=-2，S₉=-6，S₁₀=-10，S₁₁=-5，
從而S₁=a₁，S₄=0•a₄，S₅=a₅，S₆=2a₆，S₁₁=-a₁₁，
所以集合P₁₁中元素的個數(shù)為5；
（2）先證：S_i（2i+1）=-i（2i+1）（i∈N*）．
事實上，①當(dāng)i=1時，S_i（2i+1）=S₃=-3，-i（2i+1）=-3，故原等式成立；
②假設(shè)i=m時成立，即S_m（2m+1）=-m（2m+1），則i=m+1時，
S_{（m+1）（2m+3）}=S_m（2m+1）+（2m+1）²-（2m+2）²=-m（2m+1）-4m-3
=-（2m²+5m+3）=-（m+1）（2m+3）．
綜合①②可得S_i（2i+1）=-i（2i+1）．于是S_{（i+1）（2i+1）}=S_i（2i+1）+（2i+1）²
=-i（2i+1）+（2i+1）²=（2i+1）（i+1）．
由上可知S_i（2i+1）是2i+1的倍數(shù)，而a_i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），
所以S_i（2i+1）+j=S_i（2i+1）+j（2i+1）是a_i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍數(shù)．
又S_{（i+1）（2i+1）}=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍數(shù)，
而a_{（i+1）（2i+1）}+j=-（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），
所以S_{（i+1）（2i+1）}+j=S_{（i+1）（2i+1）}-j（2i+2）=（2i+1）（i+1）-j（2i+2）
不是a_{（i+1）（2i+1）}+j（j=1，2，…，2i+2）的倍數(shù)，
故當(dāng)l=i（2i+1）時，集合P_l中元素的個數(shù)為1+3+…+（2i-1）=i²，
于是，當(dāng)l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）時，集合P_l中元素的個數(shù)為i²+j．
又2000=31×（2×31+1）+47，
故集合P_{2 000}中元素的個數(shù)為31²+47=1008．

點評 本題考查集合、數(shù)列的概念和運算、計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查探究能力，以及運用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力，有一定的難度．