Question

5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到直線(xiàn)l：x=-2的距離是它到定點(diǎn)F（-1，0）的距離的$\sqrt{2}$倍．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F（-1，0）作與x軸垂直的直線(xiàn)與軌跡C在第三象限的交點(diǎn)為Q，過(guò)F（-1，0）的動(dòng)直線(xiàn)與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)M，記直線(xiàn)QA，QB，QM的斜率依次為k₁，k₂，k₃，試證明：$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}$為定值．

Answer 1

分析 （ I）作PN⊥直線(xiàn)l于N，推出$|{PN}|=\sqrt{2}|{PF}|$，化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（ II）（1）當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)AB的斜率k=0時(shí)，求出三條線(xiàn)段的斜率，推出$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}=2$．
（2）當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)AB的斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出三條線(xiàn)段的斜率，然后推出$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}=2$．

解答 解：（ I）作PN⊥直線(xiàn)l于N，則由題意可知：$|{PN}|=\sqrt{2}|{PF}|$，---（1分）
由于|PN|=|x+2|，$|{PF}|=\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}$----------（3分）
所以$|{x+2}|=\sqrt{2}•\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}$，化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$---（6分）
（ II）易得$Q（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
（1）當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)AB的斜率k=0時(shí)，$A（{-\sqrt{2}，0}），B（{\sqrt{2}，0}），M（{-2，0}）$
此時(shí)${k_1}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1$，${k_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1$，${k_3}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時(shí)，$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}=2$．-------------（8分）
（2）當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)AB的斜率k≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty-1，（其中tk=1）
令x=-2得，$y=-\frac{1}{t}$，所以$M（{-2，-\frac{1}{t}}）$，所以${k_3}=\frac{1}{t}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$--------（10分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=ty₁-1，x₂=ty₂-1，
${k_1}=\frac{{{y_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{{x_1}+1}}$=$\frac{{{y_1}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{t{y_1}}}=\frac{1}{t}+\frac{1}{{\sqrt{2}t}}•\frac{1}{y_1}$，${k_2}=\frac{1}{t}+\frac{1}{{\sqrt{2}t}}•\frac{1}{y_2}$
所以${k_1}+{k_2}=\frac{2}{t}+\frac{1}{{\sqrt{2}t}}•（\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}）$-----------------（12分）
把x=ty-1，代入方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$可得：（t²+2）y²-2ty-1=0
所以${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{{{t^2}+2}}$，${y_1}•{y_2}=\frac{-1}{{{t^2}+2}}$，所以$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=-2t$------------（14分）
所以${k_1}+{k_2}=\frac{2}{t}+\frac{1}{{\sqrt{2}t}}•（\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}）$=$\frac{2}{t}-\sqrt{2}$，所以$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{k_3}=2$．成立．--------（15分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．