Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值時x的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）采用零點分段法解含絕對值的不等式；（ II）作出f（x）圖象，結(jié)合圖象可得a的取值．

解答 解：（Ⅰ）采用零點分段法求解，
①當(dāng)x≥2時，f（x）=x+1+x-2=2x-1≥3；
②當(dāng)-1≤x＜2時，f（x）=x+1-x+2=3；
③當(dāng)x＜-1時，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1≥3；
∴f（x）的最小值是3，此時x∈[-1，2]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）的圖象如圖示：

令g（x）=a（x+1），顯然直線g（x）恒過（-1，0）點，
若不等式f（x）≤a（x+1）的解集為空集，
只需g（x）的圖象（紅色直線）和f（x）的圖象（黑色線）無交點即可，
直線AB的斜率是：1，當(dāng)x＜-1時，f（x）=-x-1-x+2=-2x+1的斜率是-2，
故-2＜a＜1．

點評 本題考查絕對值不等式的解法及應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．