Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+n+1，n∈N^*，且前n項和為S_n，則$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n取最大值時n的值為1或2．

Answer 1

分析 構(gòu)造數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}，從而可證明其為以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，從而求得a_n=n²，S_n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，從而化簡$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{-{n}^{2}+3n+1}{6}$；從而利用二次函數(shù)求最值點．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
故a_n=n²，S_n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{1}{2}$n²
=$\frac{-{n}^{2}+3n+1}{6}$；
∵y=-x²+3x+1的圖象開口向下，且對稱軸為x=$\frac{3}{2}$；
∴當(dāng)n=1或n=2時，$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n取最大值，
故答案為：1或2．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)思想的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用．