Question

設(shè)m，n∈R，定義在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，若關(guān)于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有實(shí)數(shù)解，則m+n的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，可解得m=-3，0≤n≤3，或-3≤m≤0，n=3；又由關(guān)于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有實(shí)數(shù)解可解得-2≤m＜-1，則n=3，從而求m+n的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log₂（4-|x|）的值域是[0，2]，
∴1≤4-|x|≤4，
∴0≤|x|≤3，
∴m=-3，0≤n≤3，或-3≤m≤0，n=3；
又∵關(guān)于t的方程（

1

2

）^|t|+m+1=0（t∈R）有實(shí)數(shù)解，
∴m=-（（

1

2

）^|t|+1），
∵1＜（

1

2

）^|t|+m+1≤2，
∴-2≤m＜-1，
則n=3，
則1≤m+n＜2，
即答案為：[1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域的確定，同時(shí)考查了方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．