分析 (1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
(2)根據(jù)計(jì)算的函數(shù)值,找個(gè)其周期規(guī)律,從而求解.
(3)利用換元法,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題求解.
解答 解:(1)由題意:函數(shù)f(x)=log2(sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$)),
令u=sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$),則f(x)=log2u是增函數(shù).
∵u>0,即$sin(\frac{π}{3}x+\frac{π}{3})>0$,
可得:$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z$
解得:x∈(-1+6k,2+6k),k∈Z
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤∈(-1+6k,2+6k),k∈Z
當(dāng)$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈(\frac{π}{2}+2kπ,π+2kπ),k∈Z$時(shí),函數(shù)u=sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$)是減函數(shù),
解得:$x∈(\frac{1}{2}+6k,2+6k),k∈Z$
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為$x∈(\frac{1}{2}+6k,2+6k),k∈Z$.
(2)由題意:令$h(x)=sin(\frac{π}{3}x+\frac{π}{3})$,是周期函數(shù)T=6,計(jì)算可得h(1)+h(3)+h(5)=0,
∴h(7)+h(9)+h(11)=0…
∴h(1)+h(3)+h(5)=h(7)+h(9)+h(11)=…=h(2011)+h(2013)+h(2015)=0
∴h(1)+h(3)+h(5)+…+h(2015)=0
(3)g(x)=4f(x)+2f(x)+1,
令t=2f(x),由題意可知t∈(0,1]
那么:g(x)=4f(x)+2f(x)+1,
轉(zhuǎn)化為g(t)=t2+t+1(t∈(0,1]),
g(t)在(0,1]上單調(diào)遞增,
g(t)∈(1,3],
所以:g(x)的值域?yàn)椋?,3].
點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”和周期性函數(shù)的求值問題以及復(fù)合函數(shù)值域的問題.屬于中檔題.
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A. | 45° | B. | 90° | C. | 60° | D. | 以上答案都不對(duì) |
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A. | ω=2,φ=$\frac{π}{4}$ | B. | ω=2,φ=$\frac{π}{2}$ | C. | ω=1,φ=$\frac{π}{2}$ | D. | ω=1,φ=$\frac{π}{4}$ |
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A. | $\frac{{1+3\sqrt{5}}}{8}$ | B. | $\frac{{1+5\sqrt{3}}}{8}$ | C. | $\frac{{1-3\sqrt{5}}}{8}$ | D. | $\frac{{1-5\sqrt{3}}}{8}$ |
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