14.已知函數(shù)f(x)=log2(sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$))
(1)求函數(shù)的定義域與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)令$h(x)=sin(\frac{π}{3}x+\frac{π}{3})$,求h(1)+h(3)+h(5)+h(7)+…+h(2013)+h(2015)的值;
(3)g(x)=4f(x)+2f(x)+1,求g(x)的值域.

分析 (1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
(2)根據(jù)計(jì)算的函數(shù)值,找個(gè)其周期規(guī)律,從而求解.
(3)利用換元法,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題求解.

解答 解:(1)由題意:函數(shù)f(x)=log2(sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$)),
令u=sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$),則f(x)=log2u是增函數(shù).
∵u>0,即$sin(\frac{π}{3}x+\frac{π}{3})>0$,
可得:$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z$
解得:x∈(-1+6k,2+6k),k∈Z
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤∈(-1+6k,2+6k),k∈Z
當(dāng)$\frac{π}{3}x+\frac{π}{3}∈(\frac{π}{2}+2kπ,π+2kπ),k∈Z$時(shí),函數(shù)u=sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$)是減函數(shù),
解得:$x∈(\frac{1}{2}+6k,2+6k),k∈Z$
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為$x∈(\frac{1}{2}+6k,2+6k),k∈Z$.
(2)由題意:令$h(x)=sin(\frac{π}{3}x+\frac{π}{3})$,是周期函數(shù)T=6,計(jì)算可得h(1)+h(3)+h(5)=0,
∴h(7)+h(9)+h(11)=0…
∴h(1)+h(3)+h(5)=h(7)+h(9)+h(11)=…=h(2011)+h(2013)+h(2015)=0
∴h(1)+h(3)+h(5)+…+h(2015)=0
(3)g(x)=4f(x)+2f(x)+1,
令t=2f(x),由題意可知t∈(0,1]
那么:g(x)=4f(x)+2f(x)+1,
轉(zhuǎn)化為g(t)=t2+t+1(t∈(0,1]),
g(t)在(0,1]上單調(diào)遞增,
g(t)∈(1,3],
所以:g(x)的值域?yàn)椋?,3].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”和周期性函數(shù)的求值問題以及復(fù)合函數(shù)值域的問題.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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