Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，橢圓和雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{1}{{{e_2}^2}}$=2．

Answer 1

分析 先設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長a₂，焦距2c．因為涉及橢圓及雙曲線離心率的問題，所以需要找a₁，a₂，c之間的關(guān)系，而根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|并且，$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，在△F₁PF₂中根據(jù)勾股定理可得到：，${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{1}}^{2}=2{c}^{2}$該式可變成：$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{1}{{{e_2}^2}}$=2．

解答 解：如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：
得|PF₁|+|PF₂|=2a₁+a₂，∴|PF₁|-||PF₂|=2a₂
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，設(shè)|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，
在△PF₁F₂中由勾股定理得，4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²
∴化簡得：${{a}_{1}}^{2}+{{a}_{1}}^{2}=2{c}^{2}$該式可變成：$\frac{1}{{{e_1}^2}}+\frac{1}{{{e_2}^2}}$=2．
故答案為：2

點評 考查橢圓及雙曲線的交點，及橢圓與雙曲線的定義，以及它們離心率的定義，屬于基礎(chǔ)題．