Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a＞0，b＞0，x∈R）．
（1）當a=b=2時，證明：函數(shù)f（x） 不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)f（x） 是奇函數(shù)，求a與b的值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）①當a=b=2時，計算 f（1）與f（-1），如果不相等，可得f（x）不是奇函數(shù)．
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），化簡整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），這是關(guān)于x的恒等式，由此求得a、b的值．

解答： 解：（1）①當a=b=2時，f（x）=）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+2

2x+1+2

，∵f（1）=

-2+2

4+2

=0，
f（-1）=

-2-1+2

-20+2

=

3

2

，f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)．
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實數(shù)x成立．
化簡整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），這是關(guān)于x的恒等式，
所以，

2a-b=0 2ab-4=0

，所以

a=-1 b=-2

，或

a=1 b=2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，屬于中檔題．