Question

7．已知方程x²-2kx+4k²-6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂（k∈R），求（x₁-1）²+（x₂-1）²的最大值．

Answer 1

分析 先利用判別式求出k的取值范圍，再韋達(dá)定理求出x₁與x₂的關(guān)系，代入（x₁-1）²+（x₂-1）²，寫出關(guān)于k的一元二次函數(shù)，
根據(jù)函數(shù)圖象求得最大值．

解答 解：x²-2kx+4k²-6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂（k∈R），
則△=（-2k）²-4（4k²-6）＞0，即k²＜2，
解得：$-\sqrt{2}＜k＜\sqrt{2}$，
由韋達(dá)定理可知，x₁+x₂=-$\frac{a}$=2k，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=4k²-6，
（x₁-1）²+（x₂-1）²=${x}_{1}^{2}-2x+1+{x}_{1}^{2}-2x+1$
=（x₁+x₂）²-2（x₁+x₂）-2x₁•x₂+2
=4k²-4k-8k²+12+2
=-4k²-4k+12，
由函數(shù)圖象可知：當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，取最大值，最大值為：13，
（x₁-1）²+（x₂-1）²的最大值為13．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次函數(shù)圖象和最值，屬于中檔題．