Question

8．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），且f（x）的兩個(gè)相鄰極大值點(diǎn)的距離為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x）=f（x+$\frac{1}{3}$），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）∵由題意結(jié)合周期公式可求ω的值，從而可得f（x）的解析式．
（2）由誘導(dǎo)公式可求g（x）=-sinπx，由x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，可得πx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為2，ω＞0，
∴$\frac{2π}{ω}$=2，解得ω=π．
∴f（x）的解析式為：f（x）=cos（πx+$\frac{π}{6}$），
（2）∵g（x）=f（x）=f（x+$\frac{1}{3}$）=cos[π（x+$\frac{1}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（πx+$\frac{π}{2}$）=-sinπx，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]，可得πx∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：sinπx∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴可解得函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$]的最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．