Question

14．若直線ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函數(shù)y=log_c（x+2）+2（c＞0且c≠1）的圖象恒過同一個定點，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)圖象所過定點，得到-a-2b+2=0，再由基本不等式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：∵log_c1=0恒成立，
∴函數(shù)log_c（x+2）+2（c＞0且c≠1）的圖象恒過一個定點（-1，2），
∴-a-2b+2=0，
即$\frac{1}{2}a+b$=1，
又∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}=（\frac{1}{2}a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=$\frac{3}{2}$+$\frac{a}+\frac{a}{2b}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
當且僅當a=$\sqrt{2}b$時，取等號．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式，是函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．