Question

4．函數(shù)f（x）=x²+2x+a，f（f（x））=0有三個(gè)零點(diǎn)，則a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，[f（x）]²+2f（x）+a=0有3個(gè)根，
判別式△=0，即4-4a=0，解得a=1，f（x）=-1，x²+2x+1=-1，有2個(gè)根，不滿足題意；
判別式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，則
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值為a-1，
∴較大根＞a-1且較小根=a-1，
∴-1-$\sqrt{1-a}$=a-1，
∴a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
綜上，a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，正確分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．