Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx（lnx-1）在點(diǎn)（1，0）處的切線是一次函數(shù)g（x）=ax+b．
（1）求a，b的值；
（2）令F（x）=x[f′（x）+g′（x）]，求F（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=-1，即a=-1，再由（1，0）在直線g（x）=ax+b上求得b值；
（2）求出f′（x），g′（x），代入F（x）=x[f′（x）+g′（x）]，然后求F（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)F（x）求得極值．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（lnx-1），得f′（x）=$\frac{1}{x}（lnx-1）+\frac{1}{x}lnx=\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$．
∴f′（1）=-1，即a=-1．
又（1，0）在直線g（x）=ax+b上，∴a+b=0，即b=-a=1；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$，g′（x）=-1，
∴F（x）=x[f′（x）+g′（x）]=x[$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}-1$]=2lnx-x-1．
F′（x）=$\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)F（x）取得極大值為F（2）=2ln2-3，無極小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．