【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c﹣16. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)有極大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)由題f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函數(shù)在點x=2處取得極值c﹣16∴ ,即 ,化簡得
解得a=1,b=﹣12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x3﹣12x+c,f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)
令f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)=0,解得x1=﹣2,x2=2
當x∈(﹣∞,﹣2)時,f′(x)>0,故f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上為增函數(shù);當x∈(﹣2,2)時,f′(x)<0,故f(x)在(﹣2,2)上為減函數(shù);
當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù);
由此可知f(x)在x1=﹣2處取得極大值f(﹣2)=16+c,f(x)在x2=2處取得極小值f(2)=c﹣16,
由題設(shè)條件知16+c=28得,c=12
此時f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4
因此f(x)在[﹣3,3]上的最小值f(2)=﹣4
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)f(x)=ax3+bx+c,可得f′(x)=3ax2+b,又函數(shù)在點x=2處取得極值c﹣16,可得 解此方程組即可得出a,b的值;(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)判斷出f(x)有極大值,利用f(x)有極大值28建立方程求出參數(shù)c的值,進而可求出函數(shù)f(x)在[﹣3,3]上的極小值與兩個端點的函數(shù)值,比較這此值得出f(x)在[﹣3,3]上的最小值即可.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ,n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項;
(2)設(shè) ,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn .
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【題目】已知p:方程x2+mx+1=0有兩個不等的負根;q:方程4x2+4(m﹣2)x+1=0無實根,若“p或q”真“p且q”為假,求m的取值范圍.
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【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ .
(1)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0, )
C.(0,1)
D.(0,+∞)
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【題目】已知關(guān)于x的方程2x2﹣bx+ =0的兩根為sinθ、cosθ,θ∈( , ).
(1)求實數(shù)b的值;
(2)求 + 的值.
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【題目】四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,∠BCD=60°,PA=PD= ,E是BC中點,點Q在側(cè)棱PC上.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若Q是PC中點,求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值;
(3)若 ,當PA∥平面DEQ時,求λ的值.
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【題目】如圖,某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30方向的兩條街道,某公園P位于商業(yè)中心北偏東角(),且與商業(yè)中心O的距離為公里處,現(xiàn)要經(jīng)過公園P修一條直路分別與兩條街道交匯于A,B兩處。
(1)當AB沿正北方向時,試求商業(yè)中心到A,B兩處的距離和;
(2)若要使商業(yè)中心O到A,B兩處的距離和最短,請確定A,B的最佳位置。
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且tanA=2
(1)求sin2 +cos2A的值;
(2)若a= ,求bc的最大值.
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