Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）證明：對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+b最多只有一個交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由偶函數(shù)的定義進(jìn)行求解；
（2）用假設(shè)法先假設(shè)有兩個交點(diǎn)，再推出矛盾即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)，
所以f（-x）=log4(4-x+1)-kx=f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）
解得：k=-

1

2

．
（2）證明：由（1）得f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x，令log4(4x+1)-

1

2

x=

1

2

x+b，得4^x+1=4^b•4^x，
假設(shè)方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，則4x1+1=4b•4x1①，4x2+1=4b•4x2②．
兩式相減得4x1-4x2=4b•(4x1-4x2)，
因?yàn)?span id="itizv2m" class="MathJye">4x1≠4x2，所以4^b=1，b=0，代入①或②不成立，假設(shè)錯誤，命題成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、圖象的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．