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【題目】已知橢圓的中心為，左、右焦點分別為、，上頂點為，右頂點為，且、、成等比數列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

【答案】（1）；（2）直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為、、，由題設可得及，消得a、c齊次式，解得離心率；

（2）設橢圓的方程為，則，，，.方法一：利用向量，方法二：利用斜率，方法三：利用勾股定理，可得到是直角三角形.

（1）設橢圓的長軸、短軸、焦距分別為、、，

則、、.

由題設及，消得：即.

解得：或.

又，則.

（2）方法一：設橢圓的方程為，

則，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法二：設橢圓的方程為，

則，，，.

∴，，

∴，∴，

故，∴是直角三角形.

方法三：由條件得：在中，，，.

，

，

∴，

故，∴是直角三角形.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設橢圓，定義橢圓的“相關圓”的方程為，若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形.

（1）求橢圓的方程和“相關圓”的方程；

（2）若直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，為坐標原點.

①求證：；

②求的最大值.

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【題目】已知拋物線的方程，焦點為，已知點在上，且點到點的距離比它到軸的距離大1.

（1）試求出拋物線的方程；

（2）若拋物線上存在兩動點（在對稱軸兩側），滿足（為坐標原點），過點作直線交于兩點，若，線段上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由.

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【題目】設函數，，其中恒不為0.

（1）設，求函數在x＝1處的切線方程；

（2）若是函數與的公共極值點，求證：存在且唯一；

（3）設，是否存在實數a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，請求出實數a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由.

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【題目】空氣質量指數AQI是反映空氣質量狀況的指數，AQI指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如下表：

AQI指數值

0～50

51～100

101～150

151～200

201～300

＞300

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

下圖是某市10月1日—20日AQI指數變化趨勢：

下列敘述錯誤的是

A. 這20天中AQI指數值的中位數略高于100

B. 這20天中的中度污染及以上的天數占

C. 該市10月的前半個月的空氣質量越來越好

D. 總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好

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【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構成的折線，稱為“一次構造”；用同樣的方法把每一條小線段重復上述步驟，得到了16條更小的線段構成的折線，稱為“二次構造”，…，如此進行“次構造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，至少需要通過構造的次數是（ ）．（取）

A.15B.16C.17D.18

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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且ABDC，，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

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【題目】如圖，已知在算法中“”和“”分別表示取商和取余數.為了驗證三位數卡普雷卡爾“數字黑洞”（即輸入一個無重復數字的三位數，經過如圖的有限次的重排求差計算，結果都為495）.小明輸入，則輸出的（ ）

A.3B.4C.5D.6

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【題目】已知數列｛｝的首項a1＝2，前n項和為，且數列｛｝是以為公差的等差數列·

（1）求數列｛｝的通項公式；

（2）設，，數列｛｝的前n項和為，

①求證：數列｛｝為等比數列，

②若存在整數m，n(m＞n＞1)，使得，其中為常數，且－2，求的所有可能值．

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