【題目】已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左、右頂點,F(xiàn)為其右焦點,P是橢圓C上異于A,B的動點,且△APB面積的最大值為。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D,當點P在橢圓上運動時,求證:以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.
【答案】(Ⅰ)橢圓C的方程為(Ⅱ)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意得到a,b,c的方程組,解方程組即得橢圓C的方程.(2)求證圓心到直線PF的距離等于|BD|,即證以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.
(1)由題意可設橢圓C的方程為 (a>b>0),F(xiàn)(c,0).
由題意知,解得b=,c=1.
故橢圓C的方程為,離心率為。
(2)證明:由題意可設直線AP的方程為y=k(x+2)(k≠0)。
則點D坐標為(2,4k),BD中點E的坐標為(2,2k).
由得
設點P的坐標為,則
所以
因為點F坐標為(1,0),
當k=±時,點P的坐標為,直線PF⊥x軸,點D的坐標為(2,±2).
此時以BD為直徑的圓(與直線PF相切.
當時,則直線PF的斜率,
所以直線PF的方程為,
點E到直線PF的距離
又因為|BD|=4|k|,所以d=|BD|.
故以BD為直徑的圓與直線PF相切.
綜上得,當點P在橢圓上運動時,以BD為直徑的圓與直線PF恒相切.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市根據(jù)地理位置劃分成了南北兩區(qū),為調查該市的一種經(jīng)濟作物(下簡稱 作物)的生長狀況,用簡單隨機抽樣方法從該市調查了 500 處 作物種植點,其生長狀況如表:
其中生長指數(shù)的含義是:2 代表“生長良好”,1 代表“生長基本良好”,0 代表“不良好,但仍有收成”,﹣1代表“不良好,絕收”.
(1)估計該市空氣質量差的作物種植點中,不絕收的種植點所占的比例;
(2)能否有 99%的把握認為“該市作物的種植點是否絕收與所在地域有關”?
(3)根據(jù)(2)的結論,能否提供更好的調查方法來估計該市作物的種植點中,絕收種植點的比例?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟模式的改變,微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內,沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元,未售出的商品,每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗,得到一個銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品,現(xiàn)以(單位:噸,)表示下一個銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(Ⅰ)視分布在各區(qū)間內的頻率為相應的概率,求;
(Ⅱ)將表示為的函數(shù),求出該函數(shù)表達式;
(Ⅲ)在頻率分布直方圖的市場需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值(組中值)代表該組的各個值,并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率(例如,則取的概率等于市場需求量落入的頻率),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】如圖,已知矩形中,,為邊的中點,將沿直線翻折成,若是線段的中點,則在翻折過程中,下列命題:
①線段的長是定值;
②存在某個位置,使;
③點的運動軌跡是一個圓;
④存在某個位置,使得面.
正確的個數(shù)是()
A. B. C. D.
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【題目】(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),M為上的動點,P點滿足,點P的軌跡為曲線.
(I)求的方程;
(II)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為A,與的異于極點的交點為B,求|AB|.
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【題目】已知動點滿足: .
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與曲線交于兩點,點關于軸的對稱點為(點與點不重合),證明:直線恒過定點,并求該定點的坐標.
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【題目】2018年中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會分會場之一落戶黔東南州黎平縣肇興侗寨,黔東南州某中學高二社會實踐小組就社區(qū)群眾春晚節(jié)目的關注度進行了調查,隨機抽取80名群眾進行調查,將他們的年齡分成6段: ,,,, , ,得到如圖所示的頻率分布直方圖.問:
(Ⅰ)求這80名群眾年齡的中位數(shù);
(Ⅱ)若用分層抽樣的方法從年齡在中的群眾隨機抽取6名,并從這6名群眾中選派3人外出宣傳黔東南,求選派的3名群眾年齡在的概率.
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【題目】某學校課題組為了研究學生的數(shù)學成績與學生細心程度的關系,在本校隨機調查了100名學生進行研究.研究結果表明:在數(shù)學成績及格的60名學生中有45人比較細心,另外15人比較粗心;在數(shù)學成績不及格的40名學生中有10人比較細心,另外30人比較粗心.
(I)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:
(II)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學生的數(shù)學成績與細心程度有關系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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