Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=ln（1-x）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）求不等式f（x）-g（x）＞0的解集．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）分別求解f（x）和g（x）的定義域取交集得答案；
（2）直接利用函數(shù)奇偶性的定義加以判斷并證明；
（3）利用對數(shù)的單調(diào)性求解對數(shù)不等式．

解答： 解：（1）由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域為（-1，1）；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

為奇函數(shù)．
事實上，∵h（-x）=ln

1-x

1+x

=ln(

1+x

1-x

)-1=-ln

1+x

1-x

=-h（x），
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)；
（3）由f（x）-g（x）＞0，得
ln（x+1）＞ln（1-x）．
∴

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得0＜x＜1．
∴不等式f（x）-g（x）＞0的解集為（0，1）．

點評：本題考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎題．