Question

已知兩定點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），若直線上存在點(diǎn)P，使得|PM|-|PN|=2，則稱該直線為“A型直線”．給出下列直線：①y=x+1，②y=

3

x+2，③y=-x+3，④y=-2x．
其中是“A型直線”的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知得點(diǎn)P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1，（x≥1），其漸近線方程為：y=±

3

x，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵兩定點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），直線上存在點(diǎn)P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，其中2a=2，2c=4，
∴點(diǎn)P的軌跡方程方程為：x²-

y2

3

=1，（x≥1），
∴其漸近線方程為：y=±

3

x，
∵①y=x+1經(jīng)過(guò)（0，1）且斜率k=1＜

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點(diǎn)，
∴該直線是“A型直線”；
對(duì)于②，∵y=

3

x+2經(jīng)過(guò)（0，2），且斜率k=

3

，
顯然該直線與其漸近線方程y=

3

x平行，該直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，
∴該直線不是“A型直線”，即②不符合；
對(duì)于③，∵y=-x+3經(jīng)過(guò)（0，3）且斜率k=-1，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）有交點(diǎn)，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-

3

，
∴該直線與雙曲線x²-

y2

3

=1（x≥1）無(wú)交點(diǎn)，
綜上所述，①③符合．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查“A型直線”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．