Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，點A₁在平面ABC上的射影為AC的中點D，AC=2，BB₁=3，則AB₁與底面ABC所成角的正切值為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,余弦函數(shù)的定義域和值域

專題：計算題

分析：先來找AB₁與底面ABC所成角，按照線面角的定義，需過B₁作底面ABC的垂線，若垂足是E，連接AE，則∠B₁AE就是所要找的角，角找到了，下面要求它的正切值了，所以需要求B₁E，AE．∵B₁E=A₁D，∴在Rt△A₁DA中求A₁D即可．而AE的求解，把它放在△ADE中，根據(jù)題中條件，利用余弦定理即可求出，這時候，AB₁與底面ABC所成角的正切值就能求了．

解答： 解：如圖，過D作DE∥AB，且DE=AB則B₁E∥A₁D；
∴B₁E⊥平面ABC，則∠B₁AE是AB₁與底面ABC所成角；
根據(jù)條件知，在Rt△A₁AD中，AD=1，AA₁=3，∴A₁D=2

2

∴B1E=2

2

；

在Rt△ABC中，AC=2，∴AB=

2

，∴DE=

2

；
∴在△ADE中，AD=1，DE=

2

，∠ADE=

3π

4

；
∴根據(jù)余弦定理得：AE2=1+2-2

2

(-

2

2

)=5，∴AE=

5

；
∴tan∠B1AE=

2 2

5

=

2 10

5

．
故答案是：

2 10

5

．

點評：要求線面角，要先找到這個角，然后根據(jù)邊的關(guān)系或角的關(guān)系求解即可．本題注意在求AE時用到了余弦定理，對余弦定理要熟練掌握．本題考查的知識點為：射影的概念，線面角的定義，余弦定理．