Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x+b}$是奇函數(shù)，且方程f（x）=1有等根．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（f（x））的奇偶性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和方程f（x）=1有相等根，建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（f（x））的奇偶性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{a{x}^{2}+1}{-x+b}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{x+b}$，
即-x+b=-x-b，
則b=-b，得b=0，
此時f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$=1得ax²+1=x，即ax²-x+1=0有等根，
則a≠0且判別式△=0，即1-4a=0，得a=$\frac{1}{4}$；
綜上，a=$\frac{1}{4}$，b=0；
（2）∵a=$\frac{1}{4}$，b=0；
∴f（x）=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}+1}{x}$，
則函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-f（x），
∴設(shè)g（x）=f（f（x）），
則g（-x）=f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x））=-g（x），
則函數(shù)y=f（f（x））是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．