Question

14．如圖，在菱形ABCD中，MA⊥平面ABCD，且四邊形ADNM是平行四邊形．已知MA=3，AD=4，∠BAD=60°．
（1）求證：AC⊥BN；
（2）求三棱錐A-BCM的體積．

Answer 1

分析 （1）要證明AC⊥BN，只要證明AC⊥平面NDB，而由已知可知AC⊥BD，則只要證出AC⊥DN，結(jié)合已知容易證明；
（2）三棱錐A-BCM的體積V_{三棱錐A-BCM}=V_{三棱錐M-ABC}，由此求出體積．

解答 解：（1）證明：如圖所示，
連接BD，則AC⊥BD；
由已知MA⊥平面ABCD，DN∥AM，
所以DN⊥平面ABCD，
所以DN⊥AC；
又因?yàn)镈N∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．
又因?yàn)锽N?平面NDB，
所以AC⊥BN；
（2）三棱錐A-BCM的體積為
V_{三棱錐A-BCM}=V_{三棱錐M-ABC}
=$\frac{1}{3}$•MA•S_△ABC
=$\frac{1}{3}$•MA•$\frac{1}{2}$V_菱形ABCD
=$\frac{1}{3}$×3×$\frac{1}{2}$×4²×sin60°
=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面垂直、線面平行的應(yīng)用問題，也考查了求三棱錐體積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．