Question

1．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中點．
（1）求證：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁
（2）求證：AB₁∥平面BEC₁．

Answer 1

分析 （1）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中點，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能夠證明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）連B₁C，設(shè)BC₁∩B₁C=D．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中點．由E是AC的中點，知AB₁∥DE．由此能夠證明AB₁∥平面BEC₁．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中點，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE?平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁…（6分）
（2）連B₁C，設(shè)BC₁∩B₁C=D．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中點．
∵E是AC的中點，
∴AB₁∥DE．
∵DE?平面BEC₁，AB₁?平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁．…（12分）

點評 本題考查線面平行，面面垂直的判定，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確作出表示點面距離的線段，屬于中檔題．