Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，已知|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中項(xiàng)，且∠F₁PF₂=120°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得m=2c-2a，n=2c-4a，利用余弦定理即可求得關(guān)于e的一元二次方程，由e＞1，即可求得該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中項(xiàng)，∠F₁PF₂=120°，
則點(diǎn)P在C的右支上，
∴m-n=2a，2|PF₁|=|PF₂|+|F₁F₂|，即2m=n+2c，
∴m=2c-2a，n=2c-4a，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=|PF₁|²+|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂，
∴（2c）²=（2c-2a）²+（2c-4a）²-2•（2c-2a）•（2c-4a）cos120°，
整理得2c²-9ac+2c²=0，由e=$\frac{c}{a}$，
∴2e²-9e+7=0，由e＞1，
解得：e=$\frac{7}{2}$，
曲線的離心率為$\frac{7}{2}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的定義，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．